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【新智元导读】最近，陶哲轩向众多网友和数学可爱者发起了挑战：公共数学可爱者、阐述助理、自动化助手和AI联结起来，是否不错阐述推广几个数目级的数常识题？
念念插足陶哲轩发起的「众包」数学研究样式吗？
契机来了！
AI支持阐述数学研究，越来越可行了
在传统上，一个数学研究样式常常是由1到5名数学内行来完成的。
他们每个东说念主都对项筹划各方面都满盈纯属，不错考证彼此的孝敬。
但如果要组织起更大限度的数学研究样式，终点是波及公众孝敬的样式，就阴私多了。
原因在于，很难考证所有东说念主的孝敬。
2023年底，陶哲轩晓谕：将多项式Freiman-Ruzsa猜念念的阐述模样化的Lean4样式，在三周后取得了告捷（图为最新情景）
要知说念，在数学论证某个部分中的单个造作，可能就会使所有这个词样式失败。
而且，以一个典型数学项筹划复杂进程来说，期待具有本科数学教悔水平的公众作念出故道理的孝敬，亦然不现实的。
由此咱们也不错知说念，把AI器具纳入到数学研究样式中，亦然极有挑战性的。
因为AI会生成看似合理但现实上毫无道理的论证，因此需要特殊考证，智力将AI生成的部分添加到样式中。
好在，阐述支持话语（比如Lean）提供了潜在的圭臬，大要克服这些攻击，何况让专科数学家、众多公众和AI器具的合作成为可能。
这种圭臬的前提是，样式不错以模块化的方式剖析成更小的部分，这些部分不错在无须富厚所有这个词项筹划情况下就能完成。
当前的例子主要有将现罕有学扫尾模样化的样式（比如对Marton最近阐述的PFR猜念念的模样化）。
这些模样化使命，主如若通过众包方式由东说念主类孝敬者（包括专科数学家和感酷好的公众）完成的。
同期，还有一些新兴的尝试，试图引入更多的自动化器具来完成，后者包括传统的自动定理阐述器，以及更当代的基于AI的器具。
探索全新数常识题，成为可能
何况，陶哲轩还以为，这种全新范式不仅不错用于模样化现有的数学，还不错用来探索全新的数学！
曩昔，他也曾和继任组织过一个在线妥洽「Polymath」的样式，即是一个很好的例子。
不外，这个样式莫得将阐述支持话语纳入使命流，孝敬就必须由东说念主类主抓东说念愚弄理和考证，这项使命相当耗时，也扫尾了将这些样式进一步扩大。
情色社区当前，陶哲轩但愿，添加阐述支持话语能迫害这个瓶颈。
而他尤其感酷好的，即是是否可能使用这些当代器具同期探索一类数常识题，而不是一次只关爱一两个问题。
本体上，这种圭臬是可模块化的类似任务，如果有合适的平台来严格妥洽所有孝敬，众包和自动化器具可能会尤其有效。
如果用以前的圭臬，这种数常识题类型是无法扩大限度的。除非在多年期间里，跟着个别论文冉冉地一次探索一个数据点，直到对这类问题获取合理的直观。
此外，如果有一个大型问题数据集，可能有助于对多样自动化器具进行性能评估，何况比拟不同使命历程的后果。
这类样式最近的一个例子，是「坚愁城狸挑战」。
在本年7月，第五个坚愁城狸数被证据为是47，176，870。
一些更早的众包谋划样式，比如「互联网梅森素数大搜索」（Great Internet Mersenne Prime Search， GIMPS），在内在精神上跟这些样式也有些类似，尽管它们使用的是更传统的使命量阐述机制，而不是阐述支持话语。
陶哲轩暗示，很念念知说念是否还有其他现有的众包样式探索数学空间的例子，以及是否有可用的资格教授。
陶哲轩建议新样式
为此色狗影院，陶哲轩我方也建议了一个样式，来进一步测试这一范式。
这个样式受到客岁MathOverflow问题的启发。
不久后，陶哲轩在我方的Mathstodon上，对它进行了进一步探究。
这个问题属于泛代数（universal algebra）边界，波及对原群（magma）的浅易等式表面的中等限度探索。
原群是一个配备了二元运算
的集中G。
领先，这个运算o莫得附加任何特殊的公理，因此原群自己是较为浅易的结构。
固然，通过添加特殊的公理，如恒等公理或联结律公理，咱们不错得到更纯属的数学对象，例如群、半群或幺半群。
在这里，咱们感酷好的是（无常数的）等式公理。这些公理波及由运算o和G中的一个或多个未知变量构建的抒发式的额外性。
此类公理的两个纯属的例子，是交换律x o y = y o x和联结律(x o y) o z = x o (y o z)。
其中x，y，z是原群G中的未知变量。
另一方面，（左）恒等公理e o x = x在这里不被视为等式公理（equational axiom），因为它波及一个常数e ∈ G。这类波及常数的公理在本研究中不予探究。
接下来，为了陈诉我方发起的研究样式，陶哲轩先容了十一个对于原群的等式公理例子。
这些等式公理是仅波及原群运算和未知变量的等式——
因此，例如来说，等式7暗示交换律公理，而等式10暗示联结律公理。
常数公理等式1是最强的，因为它扫尾了原群G最多只可有一个元素；与之相背，自反公理等式11是最弱的，所有原群都自满这一公理。
接下来，咱们就不错探讨这些公理之间的推导商酌：哪些公理能推出哪些公理？
例如，等式1不错推导出这个列表中的所有其他公理，而这些公理又不错推导出等式11。
等式8当作特殊情况不错推导出等式9，而等式9又当作特殊情况不错推导出等式10。
这些公理之间完好的推导商酌不错用以下哈斯图（Hasse diagram）来刻画：
这一扫尾终点恢复了数常识答网站MathOverflow上的一个问题：是否存在介于常数公理（等式1）和联结律公理（等式10）之间的等式公理（equational axioms）。
值得注视的是，这里大大宗的蕴含商酌都很容易阐述。但是，其中存在一个超卓俗的蕴含商酌。
这个商酌是在一个与前述问题密切关联的MathOverflow帖子恢复中得到的：
命题1：等式4蕴含等式7
阐述：假定G自满等式4，因此
对所有x，y ∈ G设立。
终点是，当y = x o x时，不错得出(x o x) o (x o x) = (x o x) o x。
再次应用（1），不错得出x o x是幂等的：
当前，在（1）中将x替换为x o x，然后使用（2），不错得出(x o x) o y = y o (x o x)。
尤其，x o x与y o y是可交换的：
此外，通过两次应用（1），不错得到(x o x) o (y o y) = (y o y) o x = x o y。
因此，（3）就不错简化为x o y = y o x，这即是等式7。
上述论证过程的模样化，不错在Lean中找到。
但是值得注视的是，坚信一组等式公理是否决定另一组等式公理的一般问题，是不行判定的。
因此，这里的情况有点类似于「坚愁城狸」挑战，即在某个复杂点之后，咱们势必会遭遇不行判定的问题；但在达到这个阈值之前，咱们仍有但愿发现道理道理的问题和形势。
上头的哈斯图不仅断言了列出的等式公理之间的蕴含商酌，还断言了公理之间的非蕴含商酌。
例如，如图所示，交换公理等式7并不蕴含等式4公理(x + x) + y = y + x。
要阐述这少量，只需找出一个自满交换公理等式7但不自满等式4公理的原群的例子。
比如，在这种情况下，咱们不错收受当然数集N，其运算为x o y := x+y。
更一般地，该图断言以下非蕴含商酌，这些商酌（连同已指出的蕴含商酌）完好刻画了这十一个公理之间蕴含商酌的偏序集：
在此，陶哲轩邀请读者建议反例，来完成其中的部分阐述。
最难找到的反例，即是等式9无法推出等式8了。
用Lean不错给出科罚决策。
另外，陶哲轩还提供了一个GitHub存储库，包含了所有上述包含和反包含商酌的Lean阐述。
不错看出，只是谋划11个等式的哈斯图就也曾有些繁琐了。
而陶哲轩建议的样式，是尝试将这个哈斯图推广几个数目级，覆盖更大范围的等式集。
他提议的集中是ε，即最多使用原群运算o四次的等式集，直到从头标记和等式的自反性和对称性公理。
这包括了上述十一个等式，但还有更多。
还有几许呢？
回念念一下，卡特兰数C_n是用二元运算o（应用于n+1个占位符变量）造成抒发式的圭臬数；而给定m个占位符变量的字符串，贝尔数B_m是为这些变量分派称呼的圭臬数（不错从头标记），其中允许某些占位符被分派换取的称呼。
因此，忽略对称性，最多波及四次运算的等式数目是
左侧和右侧换取的等式数目是
这些都等同于自反公理（等式11）。
剩下的9118个等式由于等式的对称性成对出现，是以ε的总大小是
陶哲轩暗示，我方还莫得生成这么恒等式的完好列表，但他猜念念，使用Python就不错松驰完成。
使用AI器具，应该能生成大部分所需的代码。
他暗示，我方王人备不明晰ε的几何结构会是什么景观。
大大宗等式会彼此不行比拟吗？它会分为「强」公理和「弱」公理吗？
当前，陶哲轩的留言区，也曾有了几十条驳斥。
